コピュラ統計学について

コピュラ統計学 (Copula statistics)

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最初に読むと良いもの

• Nelsen(2006?2007?)の教科書
• Joe(2014)の教科書
• Copulas: Tales and facts
• Everything You Always Wanted to Know about Copula Modeling but Were Afraid to Ask(Genest)
• リスク解析における接合関数（塚原2021）
• Copulas for finance(Durrleman, Roncalli)
• Sklarの定理の証明

コピュラ統計の重要なテーマ

• 金融データに多く見られる上下非対称性・裾従属性(fat tail)・確率変動を表現したい → 投資配分の決定
  • 近年は非対称tコピュラが注目されている
    • Smith et al. (2012)でベイズ推定. Sahu, Dey & Branco (2003)のskew t分布をもとに.
    • Yoshiba(2018)で最尤推定
    • ダイナミックへの拡張も. Christoffersen et al. (2012)や夷藤・中村（2019）
  • 確率的コピュラ
    • 野澤・中村. 「確率的ヴァインコピュラ」
• 系列相関を含む時系列データを分析するための時系列モデル
  • コピュラ・マルコフ連鎖モデル
    • Sun(2020), Emura
  • copula-GARCH, innovation項のcopulaの影響が不明 参考
    • Patton(2009)
  • 高次元拡張. ARCHのときはfactor-basedやDCCで解決してきた.
• ３次元以上のモデル化（多変量）
  • 特にヴァインコピュラ、分解する際に現れる条件付き接合関数が条件付け変量に依存しないと想定される“簡単化の仮定” Pair-copula constructions of multivariate copulas
    • アルキメデス型接合関数族ではクレイトン族のみがこの仮定を満たす. Gaussianやtも.
    • Hobæk Haff et al, St ̈ober et al. (2013)
  • mixed derivative measure of interaction function(Holland and Wang)
• empirical copula processの漸近理論
  • 現代的な経験過程の結果を用いたアプローチ
    • Weak convergence of empirical copula processes(Bernoulli)
    • Weak convergence of empirical copula processes indexed by functions(Bernoulli, 2017, Cornell)
• 機械学習・深層学習と関連した応用
  • Copula & Transformers

コピュラの重要な課題

• 多変量解析に対し、明確なメリットがない
  • 周辺分布とコピュラはある種つながっており、完全に分離するコピュラによる推定はバイアスを生む → どうしたらバイアス下げられる？
  • 接合関数モデルにおける統計的推測
• コピュラ選択に対する正当性
  • 多くの応用研究での適用では「数学的性質がうれしい」、にとどまる
• 基準分布としての曖昧さ
  • non-gaussianな実世界における, gaussian的存在になりたい. コピュラは関数クラスが広すぎる.
• 統計理論の発展
  • 推定における感度分析
  • フィッティングの良さをどうはかるか
  • コピュラへのフィットとデータへのフィットの差分
• 極値統計に無力
• 時系列モデリングに無力

コピュラの推定手法

[パラメタ推定]

• Archimedean copulaに対するInversion of Kendall’s $\tau$, 典型的.
• Inversion of Beta [Genest, 2013]. 性能はイマイチ.

[セミパラコピュラモデル]

• セミパラメトリックコピュラモデルにおけるダイバージェンスの性質(Sei and Matsumoto)
• Hoff et al. (2007)でLAN（局所漸近正規性に関する条件）に関する研究
  • 「Gaussian copulaに対しては正規分布」などの, rank likelihoodに良い近似が存在すると嬉しい.
• Information bounds on Gaussian copulas [Hoff 2014]
• Segers et al.(2014)でstructured Gaussianに対し, 有効推定量を構成
• Maximum pseudo-likelihood (MPLE) [Kojadinovic and Yan, 2010]
  • consistent, 時にefficient
  • expected value of order statisticsを利用
  • overestimate dependence especially for small weakly dependent samples
    • → 代わりにmedianかmodeを利用すると改善 [Dias, 2022]

[コピュラのノンパラ推定]

• Fermanian & Scaillet (2003) コピュラを直接推定 , faster rate of convergence at $n^{−1/2}$

• Chen and Huang (2007) コピュラを直接推定

  • Kernel estimator
  • boundary biasが問題となる

• Autin et al.(2010)

  • nonlinear wavelet estimators, thresholding method, minimax on the spaces $\mathcal{B}_{2\infty}^s$

• Ghosh and Lu (2021) 経験ベイズを利用

• Nonparametric estimation of copulas and copula densities by orthogonal projections

• Strong uniform convergence rates of the linear wavelet estimator of a multivariate copula density(2023)

  • optimal in a minimax sense over Besov balls for the supremum norm loss
  • Theorem 3.1

[裾従属係数のノンパラ推定]

• Ferreira 2013

Local Dependence（局所従属性）

• Holland and Wang (1987)
  • joint = marginals + LDF (under mild conditions)
• Wang (1993)
  • “iterative replacement algorithm” … method to determine joint from
  • marginals and LDF. & trivariate LDF.
• Molenberghs and Lesaffre (1997)
  • numerical extensions using non-linear integral equations.
• Jones (1997)
  • constant LDF θ leads to p(x1, x2) = a(x1; θ)b(x2; θ)ex1x2 . Plackett より優れた解釈可能性.
• Gupta(2004) : the vector failure + LDF determines the pdf.
• Gupta et al.(2010): FGM, AHM, elliptical copulas. TP2 との同値性.
• Kurowicka and van Horssen (2015)
  • LDF of elliptical and archimedean copulas.
  • extension to higher dimensions (canonical Archimedean)
• Koutoumanou et al.(2017)
  • beta marginals
• Copula-based local dependence framework
  • その応用論文：https://arxiv.org/pdf/2003.04007.pdf
• Nonparametric Universal Copula Modeling (2019)
• Towards a universal representation of statistical dependence(2023)

群モデル

• セミパラメトリックコピュラモデルにおけるダイバージェンスの性質
• 塚原2020
• 不変確率モデル

最適輸送

• WASSERSTEIN DISTANCE IN TERMS OF THE COMONOTONICITY COPULA
• measuring non-linear dependence
  • https://gmarti.gitlab.io/qfin/2020/06/25/copula-optimal-transport-dependence.html
  • https://arxiv.org/pdf/1610.09659.pdf

Mutual Informationをcopula-basedで推定する

• Physrev (2018)
• Non-parametric estimation of copula based mutual information
• Inductive Mutual Information Estimation(AISTATS 2021)
  • DoE Estimator https://github.com/karlstratos/doe
  • KXY https://github.com/kxytechnologies/kxy-python
• fastMI (2023)
• Copula Gaussian process
• Relationship Between Kendall’s tau Correlation and Mutual Information

コピュラのモデル選択

• Which copula is the right one?
• Copula Information Criteria
• Bayesian copula selection

Entropy Copula関連

最小情報コピュラ

• 最小情報従属モデリング (Sei and Yano)
• On the monotonicity of the copula entropy Y. Tenzer and G. Elidan,
• A MCMC-based maximum entropy copula method for bivariate drought risk analysis of the Amu Darya River Basin
• New copulas obtained by maximizing Tsallis or Renyi Entropies
  • MaxEnt
    • tomographyとcopulaは等価
• tコピュラについて
  • fact: 期待値ベクトルと分散共分散行列が一定の分布の中で，Tsallis entropyを最大にする分布は多変量 t 分布である(q-gaussianの極限)
  • Q. コピュラに限定した場合，最大分布は t コピュラになるのか？

Tsallis分布やTsallisエントロピーについて

• Tsalis分布と堆積モデル
• Tsalisエントロピーとマルチフラクタル
• Development of a Maximum Entropy-Archimedean Copula-Based Bayesian Network Method for Streamflow Frequency Analysis—A Case Study of the Kaidu River Basin, China

チェス版コピュラ・Bernsteinコピュラ

• 弱収束とチェス盤コピュラ
• Testing Symmetry for Bivariate Copulas using Bernstein Polynomials
• Empirical Bernstein copula

Archimedean Copula関連

• Archimaxコピュラの推定
• 多次元Archimedeanコピュラの推定
• Sampling from Archimedean copulas
• Semiparametric Archimedean Copula

Copula x DNN

• Deep archimedean copula
• Kammler
• Tactics
• NN-Copula-CD: A Copula-Guided Interpretable Neural Network for Change Detection in Heterogeneous Remote Sensing Images
• Diffusion Copulas: Identification and Estimation
• A copula-based method to build diffusion models with prescribed marginal and serial dependence
  • two diffusions are related by a monotone space-time transformation(STT) if and only if they share the same serial dependence
  • STTによってブラウン運動に変換. generatorの数でいくつかのクラス分類される.
• Copula GNN
• LEARNING SPARSE LATENT REPRESENTATIONS WITH THE DEEP COPULA INFORMATION BOTTLENECK
• Copula Density Neural Estimation

金融応用分析

• 日銀の研究
  • https://www.imes.boj.or.jp/research/papers/japanese/kk24-b2-3.pdf
  • https://www.imes.boj.or.jp/research/papers/japanese/kk29-3-4.pdf

その他従属性一般の話題

• Some concepts of dependence Lehmann(1966)
• Multivariate dependence concepts through copulas
• X+Yの分布
• Total positivityについて